Projekt II
1. ročník NMS - ZS - 0+5 - kz


Cvičící

Ing. Miroslav ŠPANIEL, CSc.


Podmínky pro udělení zápočtu

Odevzdání písemné zprávy a podkladů dle zadání projektu. Akceptovány jsou zprávy v klasické i elektronické (výhradně PDF) formě. 

Zadání projektu

 Vyšetřete a zhodnoťte provozní napjatost v ojnici klikového mechanismu čtyřtaktního dvouválcového závodního motocyklového motoru. Jsou dány varianty geometrie (viz výkresy a tabulka), průběh tlaku ve válci, hmotnost pístu 0,27 kg, hmotnost čepu 0,08 kg. Vrtání je 90 mm. Klika o poloměru 39 mm se otáčí rovnoměrně s otáčkami 10000/min.

schema     schema


Materiálové vlastnosti  shrnuje tabulka
Modul pružnosti Poissonovo číslo Hustota Mez kluzu Mez pevnosti
E [MPa] $\mu$ [1] $\varrho$ [kg/m3] Re  [MPa] Rm  [MPa]
198000 0,269 7850 883 1128


ojnice A
zadanib

Download eps
Download eps


A B C

A B C
1 Jiří Blažek
4,5
5
2
7 Ondřej Plíhal
5
4
0
2 Ondřej Chudý 4,5
5
3
8 Zdeněk Pošvář
5
5
0
3 Petr Denk
4,5
5
4
9 Zdeněk Honzík
6
5
0
4 Jaroslav Drmola
5,5
4
2
10 Petr Jurásek
6
6
0
5 Tomáš Duda
5,5
4
4
11 Oto Štěpaník
6,5
4
0
6 Vojtěch Havlík
5,5
5
2
12 Radim Tesař
7
4
0











PŘÍKLAD 4,5 3 2






průběh tlaku4

Průběh tlaku xls



Poznámky k řešení.

1. MKP model ojnice - geometrie a síť

V rámci projektuII je vyžadován 3D MKP model ojnice vysíťovaný kompatibilní (mapovanou) MKP sítí lineárních (SOLID 45) nebo kvadratických (SOLID 95) elementů. Procedura síťování je popsána v příkladu. MKP síť ojnice může např. vypadat jako na obrázku

ojnice
V rámci tohoto modelu nebude řešen kontakt mezi ojnicí a klikovým a pístním čepem. Ojnice bude vybavena referenčními uzly v osách klikového a pístního čepu sloužícími k uložení modelu. Tyto dva uzly budou ležet v rovinách symetrie ojnice a musí mít translační i rotační stupně volnosti, aby bylo možno modelovat uložení "na osu". Jejich vazba k válcovým plochám může být realizována vazbovými rovnicemi nebo pomocnými elementy. Pro jednoduchost zvolíme nosníkové elementy typu (BEAM 4), které propojují všechny uzly na dané válcové ploše s referenčním uzlem.

Poznámka: Z praktických důvodů můžeme po vysíťování odpojit MKP síť od geometrie a pracovat  dále pouze s uzly a elementy. Zachovejme však kopii databáze modelu s plnou geometrií i MKP sítí, pro případné opravy. V kopii databáze (pod jimým jménem) proveďme příkaz  "Main Menu->Preprocesor->Checking Ctrls->Model Checking" a  ve formuláři vyberme Detach . Potom smažme všechny objemy,plochy,čáry i keypointy. Zůstane pouze "čistá" MKPsíť.

Vytvoření referenčních uzlů ložisek lze jednoduše provést např. následujícím postupem (méně jednoduché bývá podobné postupy vymyslet, ale někdy to stojí za trochu námahy):

Stejným způsobem se vytvoří referenční uzel pro pístní čep.

2. MKP model ojnice - uložení a zatížení

Cílem našeho snažení je stanovit analyticky nebezpečné polohy klikového mechanizmu a pro ně provést výpočet ojnice metodou konečných prvků. Předpokládáme:
Z  filozofie kvázistatického modelu, která je podrobně vyložena níže, plyne, že ojnice musí být v dané poloze uložena otočně kolem os klikového a pístního čepu (v místech A a P dle schématu na obr.1). Osu klikového čepu volíme jako pevnou, osa pístního čepu se může posouvat  ve směru osy válce (ve kterém bude aplikována síla od pístu). Ojnice je zatížena setrvačnými silami od unášivého zrychlení (zrychlení bodu A) a od relativní rotace, tedy úhlové rychlosti a zrychlení kolem osy klikového čepu a silami od pístu. Statický výpočet namáhání ojnice bude proveden ve třech "nejvíce nebezpečných" stavech, které jsou charakterizovány:
  1. dosažením maximálního ohybového momentu ve středu nosníkového modelu ojnice
  2. dosažením maximálního vazebního účinku mezi ojnicí a klikou
  3. dosažením maximálního vazebního účinku mezi ojnicí a pístem
Uvedené stavy mohou být vyšetřeny pomocí tabulkového kalkulátoru (M$excel) s využitím předpřipravené tabulky. Podrobné odvození vztahů v tabulce je podáno zde. Do pole parametry se dosadí parametry mechanizmu a v poli výstup je po přepočítání možno najít  polohu ojnice, unášivé zrychlení, úhlovou rychlost a zrychlení a sílu od pístu.
kinematika

Liniovou hustotu stanovíme za předpokladu, že v nosníkovém modelu ojnice je rovnomrně rozložena veškerá její hmota snadno, jako
\begin{displaymath}
\mu\,=\,\frac{\varrho\,V}{r_{o}}\,\cdot
\end{displaymath}
Objem ojnice $V$ lze získat s dostatečnou přesností z MKP modelu pomocí  "Main Menu->Preprocesor->Modeling->Operate->CalcGeomItems->Of Volumes". V příkladu vyšel objem  V = 46,0077 mm3 a proto je liniová hustota rovna  $\mu$ = 2,216x10-6 T/mm.

Poznámka:  Soustava jednotek SI je konzistentní, což znamená, že není třeba žádných koeficientů ve fyzikálních vzorcích. Mějme např. soustavu jednotek,ve které se délka vyjadřuje v palcích a plocha ve čtverečných milimetrech. Při výpočtu plochy A čtverce o straně a = 2 palce musíme použít běžný fyzikální vztah
A = a2
upravený převodní konstantou k  = 25,42 = 645,16 na
A =645,16 a2 = 2580,64 mm2
Uvedená soustava není konzistentní. Ve  strojírenské pružnosti  je zvykem užívat soustavu [mm, N, MPa], která je pro statiku konzistentní. Má-li být konzistentní i v dynamice, je nutno hmotnosti vyjadřovat v tunách.

Pro každý ze tří nebezpečných stavů je nutno vytvořit samostatný model. V dalším textu je rozebírán v rámci příkladu pouze případ první, tedy stav s maximálním ohybovým momentem, tedy třetí sloupec v tabulce VÝSTUP.

kinematika-vstup


kinematika-vystup
Nejprve natočíme ojnici kolem osy klikového čepu do správné polohy, která je v našem případě dána úhlem ojnice

$\gamma_{o}\left(t\right)$ =  0,222 rad  = 12,72o
Použijeme funkci TRANSFER , která přemístí označenné uzly tak, že v zadaném souřadnicovém systému budou mít stejné souřadnice jako v aktuálním.
K tomu budeme potřebovat kartézký lokální souřadný systém systém s počátkem v ose klikového čepu pootočenoý o 12,72 o  kolem osy z.  Postup při jeho vytváření je:
  1. Zajistit,aby workplane respektovala roviny symetrie ojnice (např. "Utility Menu->Work Plane->Align WP with->....")
  2. Přemístit počátek Workplane na osu klikového čepu ("Utility Menu->Work Plane->Ofset WP to->...."
  3. Natočit Workplane kolem požadované osy  ("Utility Menu->Work Plane->Ofset WP by increments....")
  4. Vytvořit nový kartézký souřadný  systém s identifikátorem (v příkladě 20) ("Utility Menu->Work Plane->Local Coordinate System->Create Local CS->At WP Origin")
Nyní přistupme k vlastnímu zadání okrajových podmínek:
  1. Uložení referenčních uzlů 
  2. Zadání síly od pístu
  3. Zadání unášivého zrychlení
  4. Zadání relativní úhlové rychlosti
  5. Zadání unášivého zrychlení
  6. Kontrola hodnot ("Utility Menu->List->Loads->Inertia Loads"
Nakonec spustíme řešení a při troše štěstí obdržíme i nějaké výsledky.

Odvození vztahů pro analytický výpočet namáhání ojnice.

V následujícím rozboru budou odvozeny vztahy pro vyčíslení uvedených kritérií v obecném okamžiku. Tyto vztahy budou implementovány v tabulkovém kalkulátoru (M$excel) a vyčísleny pro interval odpovídající dvěma otáčkám kliky. Uvedená tabulka může být použita s různými parametry. Označme veličiny:

poloměr kliky $r_{k}$ [$\mathrm{mm}$]
délka ojnice $r_{o}$ [$\mathrm{mm}$]
úhlová rychlost kliky $\omega_{k}$ [ $\mathrm{s}^{-1}$]
hustota $\varrho$ [ $\mathrm{T}\,\mathrm{mm}^{-3}$]
hmotnost pístu $m_{p}$ [$\mathrm{T}$]
hmotnost pístního čepu $m_{pc}$ [$\mathrm{T}$]
plocha pístu $A_{p}$ [ $\mathrm{mm}^{2}$]
tlak na píst $p\left(t\right)$ [$\mathrm{MPa}$]
úhel kliky $\gamma_{k}\left(t\right)$ [1]
úhel ojnice $\gamma_{o}\left(t\right)$ [1]
poloha čepu kliky A $x_{A}\left(t\right)$, $y_{A}\left(t\right)$ [$\mathrm{mm}$]
vertikální průmět ojnice $y_{o}\left(t\right)$ [$\mathrm{mm}$]
poloha pístu $y_{p}\left(t\right)$ [$\mathrm{mm}$]
unášivá rychlost ojnice $\pmb{v}_{u}\left(t\right)\,=\, \left[v_{ux}\left(t\right)\,, v_{uy}\left(t\right)\right]$ [ $\mathrm{mm}\,\mathrm{s}^{-1}$]
unášivé zrychlení ojnice $\pmb{a}_{u}\left(t\right)\,=\, \left[a_{ux}\left(t\right)\,, a_{uy}\left(t\right)\right]$ [ $\mathrm{mm}\,\mathrm{s}^{-2}$]
relativní úhlová rychlost ojnice $\omega_{o}$ [ $\mathrm{s}^{-1}$]
relativní úhlové zrychlení ojnice $\alpha_{o}$ [ $\mathrm{s}^{-2}$]
rychlost pístu $v_{p}\left(t\right)$ [ $\mathrm{mm}\,\mathrm{s}^{-1}$]
zrychlení pístu $a_{p}\left(t\right)$ [ $\mathrm{mm}\,\mathrm{s}^{-2}$]
čas $t$ [$\mathrm{s}$]
liniová hustota $\mu$ [ $\mathrm{T}\,\mathrm{mm}^{-1}$]

Kinematika klikového mechanizmu.

Okamžitou polohu klikového mechanizmu lze popsat jako funkci úhlu kliky
$\displaystyle x_{A}\left(\gamma_{k}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle r_{k} \sin\left(\gamma_{k}\right)$  
$\displaystyle y_{A}\left(\gamma_{k}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle r_{k} \cos\left(\gamma_{k}\right)$  
$\displaystyle \gamma_{o}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \arcsin\left(\frac{x_{A}}{r_{o}}\right) \,=\, \arcsin\left[\left(\frac{r_{k}}{r_{o}}\right)\sin\left(\gamma_{k}\right)\right]$ (1)
$\displaystyle y_{o}$ $\textstyle =$ $\displaystyle r_{o}\cos\left(\gamma_{o}\right) \,=\,r_{o}\cos\arcsin\left[\left(\frac{r_{k}}{r_{o}}\right)\sin\left(\gamma_{k}\right)\right]$  
$\displaystyle y_{p}$ $\textstyle =$ $\displaystyle y_{A} \,+\,y_{o}$  

Obr. 1: Schéma klikového mechanizmu v obecné poloze.
\includegraphics[width = 90mm]{krank-bas.eps}

Za předpokladu konstantní úhlové rychlosti kliky je

\begin{displaymath}\gamma_{k}\,=\,\omega_{k} t \;,\end{displaymath}

kde $t$ je čas. Vyšetřujme nyní pohyb ojnice jako rovinný pohyb složený z unášivého pohybu bodu $A$ a relativního pohybu daného natočením $\gamma_{o}$. Derivováním rovnic 1 podle času obdržíme po úpravách následující vztahy pro unášivé rychlosti a zrychlení.
$\displaystyle v_{ux}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot{x}_{A} \,=\, \omega_{k} r_{k} \cos\left(\omega_{k}t\right)$  
$\displaystyle v_{uy}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot{y}_{A} \,=\, -\omega_{k} r_{k} \sin\left(\omega_{k}t\right)$  
      (2)
$\displaystyle a_{ux}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot{v}_{ux} \,=\, -\omega_{k}^{2} r_{k} \sin\left(\omega_{k}t\right)$  
$\displaystyle a_{uy}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot{v}_{ux} \,=\, -\omega_{k}^{2} r_{k} \cos\left(\omega_{k}t\right)$  

Pro vyjádření úhlové rychlosti a zrychlení relativního pohybu ojnice zaveďme nejprve pomocnou funkci ${\cal A}\left(t\right)$

$\displaystyle {\cal A}\left(t\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 - \left(\frac{r_{k}}{r_{o}}\right)^{2}\sin^{2}\left(\omega_{k}t\right)$  
      (3)
$\displaystyle \dot{{\cal A}}\left(t\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\mbox{$\mathrm d$}}{\mbox{$\mathrm d$}t}{\cal A}\left(t\rig...
...{2}\,\omega_{k} \sin\left(\omega_{k}t\right)\cos\left(\omega_{k}t\right)\;\cdot$  

Potom
$\displaystyle \omega_{o}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot{\gamma}_{o} \,=\, \left(\frac{r_{k}}{r_{o}}\right) \frac{\omega_{k}c\cos\left(\omega_{k}t\right)}{\sqrt{\cal A}}$  
      (4)
$\displaystyle \alpha_{o}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \dot{\omega}_{o} \,=\,\omega_{k} \left(\frac{r_{k}}{r_{o}}\right)...
...frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {\cal A}^{-\frac{1}{2}} \dot{\cal A}}{\cal A} \,\cdot$  

Pohyb pístu je přímočarý v ose $y$. Poloha pístu je dána podle (1) součtem ypsilonové souřadnice bodu A $y_{A}$ a průmětu ojnice do osy $y$ $y_{o}$. Vyjádřeme derivace

$\displaystyle \dot{y}_{o}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -r_{o} \dot{\gamma}_{o} \sin\left(\gamma_{o}\left(t\right)\right)...
...{o}\left(t\right) \left(\frac{r_{k}}{r_{o}}\right)\sin\left(\omega_{k} t\right)$  
      (5)
$\displaystyle \ddot{y}_{o}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -r_{k}\,\alpha_{o}\left(t\right) \sin\left(\omega_{k} t\right) - r_{k}\,\omega_{k} \omega_{o}\left(t\right) \cos\left(\omega_{k} t\right)$  

a přičtením vztahů (3) obdržíme rychlost a zrychlení pístu ve tvaru
$\displaystyle v_{p}$ $\textstyle =$ $\displaystyle v_{uy}\,+\,\dot{y}_{o} \,=\,-r_{k} \omega_{k} \sin\left(\omega_{k...
...,=\, -r_{k} \sin\left(\omega_{k}t\right)\left[ \omega_{k}\,+\,\omega_{o}\right]$  
$\displaystyle a_{p}$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_{uy}\,+\,\ddot{y}_{o} \,=\, -r_{k} \omega_{k}^{2} \cos\left(\om...
...ght) - r_{k}\,\omega_{k} \omega_{o}\left(t\right) \cos\left(\omega_{k} t\right)$ (6)
  $\textstyle =$ $\displaystyle -r_{k} \omega_{k} \cos\left(\omega_{k}t\right)\left[ \omega_{k}\,...
...a_{o}\right] \,-\,r_{k}\,\alpha_{o}\left(t\right) \sin\left(\omega_{k} t\right)$  

Tím je popsána kinematika pohybu klikového mechanizmu.

Zatížení ojnice

Ojnice je při daném typu pohybu zatížena vazbovými silami v pístním a klikovém čepu a spojitě rozloženými setrvačnými silami od svého pohybu. Za předpokladu, že děj není příliš rychlý v porovnání s rychlostí šíření napěťových vln v ojnici, můžeme v každém okamžiku formulovat rovnici rovnováhy setrvačných a vazbových sil (tzv. dynamická rovnováha) a tu řešit kvázistaticky 1. Toto řešení je možno efektivně provést metodou konečných prvků ve zvolené množině poloh. Pro naše účely vybereme jen několik poloh s největším očekávaným namáháním v ohybu a čepových silách. Při výběru těchto poloh využijeme zjednodušený jednorozměrný model ojnice, na kterou budeme nahlížet jako na prizmatický prut s hmotou rovnoměrně rozdělenou po délce $r_{o}$. Tato úloha je schématizována na obr. 2. Je zřejmé, že ojnice je zatížena kombinací tah-tlaku a ohybu. Tato zatížení budeme řešit separovaně a při výpočtu reakcí využijeme principu superpozice. Liniovou setrvačnou sílu $\pmb{X}_{L}\left(\xi\right)$, která je podle D'Alembertova principu dána záporně vzatým součinem liniové hustoty $\mu\left(\xi\right)\;\mathrm{[T}\mathrm{mm}^{-1}\mathrm{y]}$a zrychlení $\pmb{a}\left(\xi\right)$ v daném místě $\xi$, je vhodné vyjádřit v souřadném systému ojnice $\left(\xi\,\eta\right)$. Celkové zrychlení v místě $\xi$ $\pmb{a}\left(\xi\right)$ je součtem zrychlení unášivého $\pmb{a}_{u}\left(\xi\right) = \left[a_{ux}, a_{uy}\right]$(v systému $\left(x\,y\right)$, viz (3)) a relativního $\pmb{a}_{r}\left(\xi\right) = \left[a_{r\xi}\left(\xi\right), a_{r\eta}\left(\xi\right)\right]$(v systému $\left(\xi\,\eta\right)$), kde

Obr. 2: Schéma klikového mechanizmu v obecné poloze.
\includegraphics[width = 100mm]{krank-load.eps}

$\displaystyle a_{r\xi}\left(\xi\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle -\xi\,\omega_{o}^{2}$  
      (7)
$\displaystyle a_{r\eta}\left(\xi\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \xi\,\alpha_{o}\,\cdot$  

Zřejmě bude nutno transformovat složky unášivého zrychlení ze systému $\left(x\,y\right)$ do systému $\left(\xi\,\eta\right)$. Transformační matice je dána předpisem
\begin{displaymath}
T_{ij}\,=\,^{\xi}\pmb{e}_{i}\cdot ^{x}\pmb{e}_{j}\,,
\end{displaymath} (8)

kde $^{\xi}\pmb{e}_{i}$ je $i$-tý bázový vektor souřadného systému $\left(\xi\,\eta\right)$ a $^{x}\pmb{e}_{j}$ je $j$-tý bázový vektor souřadného systému $\left(x\,y\right)$. Levý horní index i v dalším textu naznačuje souřadný systém, ve kterém jsou složky dané veličiny vyjádřeny. Tedy
\begin{displaymath}
\pmb{T}\,=\,
\left[{
\begin{array}{c c}
-\sin\gamma_{o} & \c...
...
-\cos\gamma_{o} & -\sin\gamma{o}
\end{array}}\right] \,\cdot
\end{displaymath} (9)

S využitím (3) a (9) obdržíme unášivé zrychlení v systému ojnice
\begin{displaymath}
^{\xi}\pmb{a}_{u}\,=\,
\pmb{T}\,^{x}\pmb{a}_{u}\,=\,
\left[{...
...{ux}\,-\,\sin\gamma_{o}\,a_{uy} \\
\end{array}}\right]\,\cdot
\end{displaymath} (10)

Po přičtení složek dle (8) dostaneme složky celkového zrychlení bodu ojnice ve tvaru
$\displaystyle a_{\xi}$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_{u\xi} \,+\, a_{r\xi}\left(\xi\right) \,=\, -\sin\gamma_{o}\,a_{ux}\,+\,\cos\gamma_{o}\,a_{uy}\,-\,\xi\,\omega_{o}^{2}$  
      (11)
$\displaystyle a_{\eta}$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_{u\eta} \,+\, a_{r\eta}\left(\xi\right) \,=\, -\cos\gamma_{o}\,a_{ux}\,-\,\sin\gamma_{o}\,a_{uy}\,+\,\xi\,\alpha_{o}$  

Měrná liniová setrvačná síla je (pokud liniovou hustotu $\mu$ považujeme za konstantu) v souřadném systému ojnice vyjádřena

\begin{displaymath}
^{\xi}\pmb{X}_{L}\left(\xi\right)\,=\,
\left[{
\begin{array...
...
-\mu\,a_{u\eta}\,-\,\mu\,\alpha_{o}\,\xi
\end{array}}\right]
\end{displaymath} (12)

Liniovou hustotu stanovíme za předpokladu, že v nosníkovém modelu ojnice je rozložena veškerá její hmota snadno, jako
\begin{displaymath}
\mu\,=\,\frac{\varrho\,V}{r_{o}}\,\cdot
\end{displaymath} (13)

Objem ojnice $V$ lze získat s dostatečnou přesností z MKP modelu.

Z přímočarého pohybu pístu je možno přímo stanovit složku vazbové síly $F_{Py}$, kterou působí píst v daném okamžiku na ojnici v bodě $P$. Při kladných orientací dle obrázků 12 je

\begin{displaymath}
F_{Py}\,=\,F_{p}+F_{Dp}\,=\,-p\left(t\right)\,A_{p}\,-\,\left(m_{p}+m_{pc}\right)\,a_{p}\,,
\end{displaymath} (14)

kde $a_{p}$ je dáno (7).

Ohybové namáhání ojnice

Obr. 3: Schéma ohybového zatížení ojnice
\includegraphics[width = 100mm]{krank-bend.eps}

Schéma ohybového namáhání ojnice je na obr. 3. Z teorie rovinného ohybu plyne pro ohybový moment rovnice
\begin{displaymath}
M_{o}'' = - X_{L\eta}\left(\xi\right) = \mu\,a_{u\eta}\,+\,\mu\,\alpha_{o}\,\xi
\end{displaymath} (15)

s okrajovými podmínkami
\begin{displaymath}
M_{o}\left(\xi=0\right) \,=\, M_{o}\left(\xi=r_{o}\right) \,=\,0 \,\cdot
\end{displaymath} (16)

Její integrál vychází po úpravách
\begin{displaymath}
M_{o}\left(\xi\right)\,=\, \frac{\mu\,\alpha_{o}}{6}\,\xi\,\...
...{\mu\,a_{u\eta}}{2}\,\xi\,\left( \xi\,-\,r_{o}\right)\, \cdot
\end{displaymath} (17)

Vzhledem k aproximativnímu charakteru naší úlohy nebudeme hledat absolutní extrém momentu na ojnici, ale polohu pro kontrolu ohybového momentu určíme v čase, ve kterém je ohybový moment v jedné polovině ojnice $M_{o}\left(\xi=\frac{r_{o}}{2}\right)$ v absolutní hodnotě největší.
\begin{displaymath}
\left\vert M_{o}\left(\xi=\frac{r_{o}}{2}\right)\right\vert ...
..._{o}^{3}\,+\,\frac{1}{8}\,\mu\,a_{u\eta}\,r_{o}^{2}\right\vert
\end{displaymath} (18)

Vazební síly v čepech $A$ a $P$ při ohybu určíme v souřadném systému $\left(\xi\,\eta\right)$. Složky ve směru osy $\xi$ jsou vesměs nulové a složky v příčném směru $\eta$ nabývají hodnot posouvajících sil v podporách

$\displaystyle R_{oA\eta}$ $\textstyle =$ $\displaystyle T\left(0\right)\,=\,M_{o}'\left(0\right)\,=\,-\frac{1}{6}\mu\,\alpha_{o}\,r_{o}^{2}\,-\,\frac{1}{2}\mu\,a_{u\eta}\,r_{o}$  
      (19)
$\displaystyle R_{oP\eta}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -T\left(r_{o}\right)\,=\,-M_{o}'\left(r_{o}\right)\,=\,-\frac{1}{3}\mu\,\alpha_{o}\,r_{o}^{2}\,-\,\frac{1}{2}\mu\,a_{u\eta}\,r_{o}$  

Namáhání ojnice tah-tlakem.

Obr. 4: Schéma tahového zatížení ojnice
\includegraphics[width = 100mm]{krank-tens.eps}
Schéma namáhání ojnice tah-tlakem je na obr. 4. Z teorie tah-tlaku ohybu plyne pro vnitřní tahovou sílu rovnice
\begin{displaymath}
N'\,=\, -X_{L\xi}\,=\,\mu\,a_{u\xi}\,-\,\mu\,\omega_{o}^{2}\,\xi
\end{displaymath} (20)

s okrajovou podmínkou (viz obr.4)
\begin{displaymath}
N\left(\xi=r_{o}\right)\,=\,R_{tP\xi}\,\cdot
\end{displaymath} (21)

Hodnota složky vazební síly $R_{tP\xi}$ souvisí zřejmě se silou od pístu $F_{Py}$ viz (14), ale vzhledem k natočení souřadného systému se podílejí i reakce od ohybu, takže vyčíslení bude provedeno až po stanovení celkových reakcí (viz kap.3.3).

Integrálem uvedené rovnice je po úpravách

\begin{displaymath}
N\left(\xi\right)\,=\,-\frac{\mu\omega_{o}^{2}}{2}\left(\xi^...
...,+\,\mu\,a_{u\xi}\,\left(\xi\,-\,r_{o}\right)\,+\,R_{tP\xi}\,,
\end{displaymath} (22)

odkud plyne
$\displaystyle N\left(\xi=0\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\mu\omega_{o}^{2}}{2}\,r_{o}^{2}\,-\,\mu\,a_{u\xi}\,r_{o}\,+\,R_{tP\xi}\,$  
      (23)
$\displaystyle N\left(\xi=r_{o}\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle R_{tP\xi}\, \cdot$ (24)

Vazbové síly v čepech $A$ a $P$ v souřadném systému $\left(\xi\,\eta\right)$ mají evidentně nulovou příčnou složku (ve směru $\eta$), zatímco složky podélné (ve směru $\xi$) jsou rovny

$\displaystyle R_{tA\xi}$ $\textstyle =$ $\displaystyle -N\left(\xi=0\right)\,=\,-\frac{\mu\omega_{o}^{2}}{2}\,r_{o}^{2}\,+\,\mu\,a_{u\xi}\,r_{o}\,-\,R_{tP\xi}$  
      (25)
$\displaystyle R_{tP\xi}$ $\textstyle =$ $\displaystyle N\left(\xi=r_{o}\right)\,=\,R_{tP\xi}\,\cdot$  

Celkové vazbové síly

Celkové vazbové síly obdržíme superpozicí sil od ohybu a od tah-tlaku v ojnici. Vyjádřeme je nejprve v systému $\left(\xi\,\eta\right)$:
$\displaystyle ^{\xi}\pmb{R}_{A}$ $\textstyle =$ $\displaystyle ^{\xi}\pmb{R}_{oA}\,+\,^{\xi}\pmb{R}_{tA}\,=\,
\left[{
\begin{arr...
...,r_{o}^{2}\,+\,\mu\,a_{u\xi}\,r_{o}\,-\,R_{P\xi}\\ [4mm]
0
\end{array}}\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[{
\begin{array}{c}
-\frac{\mu\omega_{o}^{2}}{2}\,r_{o}^{2}\...
...,\alpha_{o}\,r_{o}^{2}\,-\,\frac{1}{2}\mu\,a_{u\eta}\,r_{o}
\end{array}}\right]$ (26)
$\displaystyle ^{\xi}\pmb{R}_{P}$ $\textstyle =$ $\displaystyle ^{\xi}\pmb{R}_{oP}\,+\,^{\xi}\pmb{R}_{tP}\,=\,
\left[{
\begin{arr...
...,\alpha_{o}\,r_{o}^{2}\,-\,\frac{1}{2}\mu\,a_{u\eta}\,r_{o}
\end{array}}\right]$  

Požadavek rovnosti složky $y$ vazbové síly $\pmb{R}_{P}$ v pístním čepu a síly od pístu $F_{Py}$ poskytuje podmínku pro stanovení tahové vazbové složky $R_{tP\xi}$. Nejprve je nutno vazbovou sílu v pístním čepu $\pmb{R}_{P}$ vyjádřit v souřadném systému $\left(x\,y\right)$. Transformační matice $\pmb{T}$ dle (9) byla zkonstruována pro transormaci $\left(x\,y\right)\rightarrow\left(\xi\,\eta\right)$. Inverzní transformaci $\left(\xi\,\eta\right)\rightarrow\left(x\,y\right)$ představuje díky ortogonalitě matice

\begin{displaymath}\pmb{T}^{-1}\,=\,\pmb{T}^{T}\,\cdot\end{displaymath}

Po transformaci máme
\begin{displaymath}
^{x}\pmb{R}_{P}\,=\, \pmb{T}^{T}\,^{\xi}\pmb{R}_{P}\,=\,
\le...
...{1}{2}\mu\,\sin\gamma_{o}a_{u\eta}\,r_{o}
\end{array}}\right]
\end{displaymath} (27)

a z podmínky

\begin{displaymath}R_{Py} \,=\, F_{py}\end{displaymath}

stanovíme konečně
\begin{displaymath}
R_{tP\xi} = \frac{1}{\cos\gamma_{o}}\left[F_{Py}\,-\,\frac{1...
...,\frac{1}{2}\mu\,\sin\gamma_{o}a_{u\eta}\,r_{o}\right]\,\cdot
\end{displaymath} (28)

Závěry.

Provedený rozbor poskytuje vztahy pro stanovení nebezpečných poloh klikového mechanizmu vzhledem k namáhání ojnice. V tabulkovém procesoru excel postupně vyjádříme následující kritéria jako funkce času:
  1. Kritérium ohybu
    \begin{displaymath}
M_{o,max}\left(t\right) = \left\vert \frac{1}{16}\,\mu\,r_{o...
...{1}{8}\,\mu\,r_{o}^{2}\,a_{u\eta}\left(t\right)\right\vert\,,
\end{displaymath} (29)

    podle (18).
  2. Kritérium vazbové síly v klikovém čepu
    \begin{displaymath}
\left\vert\vert\pmb{R}_{A}\left(t\right)\right\vert\vert\,=\...
...\xi}^{2}\left(t\right)\,+\,R_{A\eta}^{2}\left(t\right)}\,\cdot
\end{displaymath} (30)

  3. Kritérium vazbové síly v pístním čepu
    \begin{displaymath}
\left\vert\vert\pmb{R}_{P}\left(t\right)\right\vert\vert\,=\...
...\xi}^{2}\left(t\right)\,+\,R_{P\eta}^{2}\left(t\right)}\,\cdot
\end{displaymath} (31)

K tomu je nutno vyjádřit následující pomocné funkce času:

veličina symbol vztah
okamžitý úhel kliky $\gamma_{k}\left(t\right)\,=\,\omega_{k}\,t$  
okamžitý úhel ojnice $\gamma_{o}\left(t\right)$ 2
pomocná funkce ${\cal A}\left(t\right)$ 4
pomocná funkce $\dot{{\cal A}}\left(t\right)$ 4
úhlová rychlost ojnice $\omega_{o}\left(t\right)$ 5
úhlové zrychlení ojnice $\alpha_{o}\left(t\right)$ 5
unášivé zrychlení ojnice v $\left(x\,y\right)$ $a_{ux}$ 3
unášivé zrychlení ojnice v $\left(x\,y\right)$ $a_{uy}$ 3
unášivé zrychlení ojnice v $\left(\xi\,\eta\right)$ $a_{u\xi}$ 10
unášivé zrychlení ojnice v $\left(\xi\,\eta\right)$ $a_{u\eta}$ 10
zrychlení pístu $a_{p}$ 7
síla od pístu na ojnici $F_{Py}$ 14
osová vazbová síla ojnice-píst $R_{tP\xi}$ 28
příčná vazbová síla ojnice-píst $R_{P\eta}$ 27
osová vazbová síla ojnice-klika $R_{A\xi}$ 27
příčná vazbová síla ojnice-klika $R_{A\eta}$ 27

 This document was partially  generated using the LaTeX2HTML translator Version 2002-2 (1.70)

Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.


Vaše připomínky a návrhy nám prosím zasílejte na níže uvedenou e-mail adresu
Editor: Kolektiv
Správce WWW: Miroslav Španiel
Kontakt: miroslav.spaniel@fs.cvut.cz
Poslední změna: 22. září 2010

-