next up previous
Next: About this document ... Up: otazky_test Previous: Typové příklady.

Testové otázky.

  1. Jaký varianční princip představuje následující rovnice?

    \begin{displaymath}\int_{\Omega} \sigma_{ij} \delta\varepsilon_{ij}\,dV - \int_{...
...\,dV - \int_{\partial\Omega_{\sigma}} p_{i} \delta u_{i}\,dS= 0\end{displaymath}

    Co představují symboly ($\Omega$, $\partial\Omega_{\sigma}$, $\sigma_{ij}$, $\delta\varepsilon_{ij}$, $X_{i}$, $\delta u_{i}$, $p_{i}$) v ní zapsané? Zformulujte příslušný variační princip! (Nápověda: Nezapomeňte na pojem kinematicky přípustného pole posuvů).
    4 body

  2. Co představuje symbol $\Pi$, a v jakém variančním principu se využívá?

    \begin{displaymath}\Pi = {{1}\over{2}} \int_{\Omega} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij...
..._{i} u_{i}\,dV - \int_{\partial\Omega_{\sigma}} p_{i} u_{i}\,dS\end{displaymath}

    Co představují symboly $\Omega$, $\partial\Omega_{\sigma}$, $\sigma_{ij}$, $\varepsilon_{ij}$, $X_{i}$, $u_{i}$, $p_{i}$? Zformulujte příslušný variační princip! (Nápověda: Nezapomeňte na pojem kinematicky přípustného pole posuvů).
    4 body

  3. Celkovou potenciální energii lze zapsat ve tvaru

    \begin{displaymath}\Pi = U - W\end{displaymath}

    Co představují symboly $U$ a $W$. Doplňte vztahy pro jejich vyjádření

    \begin{displaymath}U = \mbox{\fbox{}}\int_{\Omega} \mbox{\fbox{}}\mbox{\fbox{}}\,dV\end{displaymath}


    \begin{displaymath}W = \int_{\Omega} \mbox{\fbox{}}\mbox{\fbox{}}\,dV + \int_{\partial\Omega_{\sigma}} \mbox{\fbox{}}\mbox{\fbox{}}\,dS\end{displaymath}

    a popište význam použitých symbolů. Zformulujte příslušný variační princip! (Nápověda: Nezapomeňte na pojem kinematicky přípustného pole posuvů).
    4 body

  4. Odvoďte proces sestavení globální matice tuhosti $\mbox{\underline K}$ z matic tuhosti jednotlivých elementů $\mbox{\underline K}^{e}$ s využitím definičních vztahů pro deformační energii. (Nápověda: $U = \sum_{e} U^{e}$, $U = {{1}\over{2}}\vec{\Delta}^{T} \cdot \mbox{\underline K} \cdot \vec{\Delta}$, $U^{e} = {{1}\over{2}}\vec{\delta}^{eT} \cdot \mbox{\underline K}^{e} \cdot \vec{\delta}^{e}$. Využijte matic tuhosti elementu $\tilde{\mbox{\underline K}}^{e}$ o stejném rozměru, jako je rozměr globální matice tuhosti.)
    4 body

  5. Vysvětlete zavedení kinematických okrajových podmínek (modifikaci soustavy $\mbox{\underline K} \cdot \vec{\Delta} = \vec{F}$) do MKP modelu. (Nápověda: výjděte z faktu, že kinematická okrajová podmínka snižuje počet neznámých posuvů a využijte symetrii matice tuhosti. Pojednejte i případ, kdy je vynucen nenulový posuv!)
    4 body

  6. Zapište vztah pro celkovou potenciální energii $\Pi$ MKP modelu s pomocí globální matice tuhosti $\mbox{\underline K}$, globálního vektoru uzlových posuvů $\vec{\Delta}$ a globálního vektoru vnějších uzlových sil $\vec{F}$. Odvoďte a s pomocí týchž symbolů zapište soustavu rovnic, které reprezentují nutnou podmínku extrému (minima) celkové potenciální energie a tím podmínku rovnováhy MKP modelu.
    4 body

  7. Odvoďte, jak se v MKP modelu (v rovinné úloze) projeví zatížení tělesa teplotním polem $T(x,y)$. (Nápověda:
    1. Pomocí teplotního rozdílu $\Delta T$ a teplotní roztažnosti $\alpha$ definujte za předpokladu isoropního materiálu tenzor počáteční deformace $\pmb{\varepsilon}_{0}$. Vyjádřete i jeho vektorovou reprezentaci $\vec{\varepsilon}_{0}$
    2. Upravte Hookeův zákon ve vektorové reprezentaci $\vec{\sigma} = \mbox{\underline E}\cdot\vec{\varepsilon}$ tak, aby respektoval počáteční deformaci.
    3. Pro takto upravený Hookeův zákon modifikujte výraz pro celkovou potenciální energii MKP modelu

      \begin{displaymath}\sum_{e} \left[ {{1}\over{2}} \, \int_{\Omega_{e}}\vec{\varep...
..._{\Gamma_{e,\sigma}}\vec{u}^{T}\cdot\vec{p}\,d\Gamma \right] = \end{displaymath}



      \begin{displaymath}\sum_{e} \left[ {{1}\over{2}} \, \int_{\Omega_{e}}\vec{\varep...
..._{\Gamma_{e,\sigma}}\vec{u}^{T}\cdot\vec{p}\,d\Gamma \right] = \end{displaymath}



      \begin{displaymath}\sum_{e} \left\{ {{1}\over{2}} \,\, \vec{\delta}^{T}\cdot\lef...
...sigma}}\mbox{\underline N}^{T}\cdot\vec{p}\,d\Gamma \right\} = \end{displaymath}



      \begin{displaymath}\sum_{e} \left\{{{1}\over{2}} \,\, \vec{\delta}^{T}\cdot\mbox...
...\, - \, \vec{\delta}^{T}\cdot\vec{F}_{ekv.,povrch}^{e} \right\}\end{displaymath}


    4. Nový člen interpretujte jako ekvivalentní uzlovou sílu.
    4 body

  8. Uveďte definiční vztah (z čeho na co operuje) matice tvarových funkcí $\mbox{\underline N}\left(x,y,z\right)$. (Nápověda: Analogicky platí, že matice tuhosti elementu $\mbox{\underline K}^{e}$ je definována vztahem $U = {{1}\over{2}}\vec{\delta}^{T} \cdot \mbox{\underline K}^{e} \cdot \vec{\delta}$)
    2 body

  9. Uveďte definiční vztah (z čeho na co operuje) $\vec{\delta}$- $\vec{\varepsilon}$ operátor (operátor z uzlových posuvů na deformace) $\mbox{\underline B}\left(x,y,z\right)$. (Nápověda: Analogicky platí, že matice tuhosti elementu $\mbox{\underline K}^{e}$ je definována vztahem $U = {{1}\over{2}}\vec{\delta}^{T} \cdot \mbox{\underline K}^{e} \cdot \vec{\delta}$)
    2 body

  10. Uveďte definiční vztah (z čeho na co operuje) matice tuhosti elementu $\mbox{\underline K}$. (Nápověda: Analogicky je matice tvarových funkcí $\mbox{\underline N}$ definována vztahem $\vec{u}\left(x,y,z\right) = \mbox{\underline N}\left(x,y,z\right) \cdot \vec{\delta}$)
    2 body

  11. Na příkladu jednorozměrného (tyčového elementu) vysvětlete pojem matice tvarových funkcí - $\mbox{\underline N}\left(x,y,z\right)$.
    3 body

  12. Vyjmenujte obecné vlastnosti matice tuhosti elementu $\mbox{\underline K}^{e}$. Alespoň jednu z nich dokažte!
    3 body

  13. Popište proces vyhlazení napjatosti prostřednictvím interpolace v uzlech.
    3 body

  14. Vysvětlete na příkladu 1D tyčového elementu pojem ekvivalentní uzlová síla. (Nápověda: popište čemu je ekvivalentní a v jakém smyslu.)
    3 body

  15. Je dána tabulka souřadnic uzlů
    uzel 1 2 3 4 5 6 7 8
    $x$ [mm] 0 10 0 10 0 10 20 20
    $y$ [mm] 20 20 10 10 0 0 10 0


    tabulka elementů (incidence uzlů)
    lok. uzel 1 2 3 4
    element        
    1 (4-uzlový rovinný) 1 2 4 3
    2 (4-uzlový rovinný) 3 4 6 5
    3 (4-uzlový rovinný) 4 7 8 6


    a tabulka incidence globálních stupňů volnosti
    uzel 1 2 3 4 5 6 7 8
    $u_{x}$ [mm] 1 3 5 7 9 11 13 15
    $u_{y}$ [mm] 2 4 6 8 10 12 14 16


    rovinné MKP sítě.
    1. Načrtněte uvedenou síť v globálním souřadném systému $(Oxy)$, očíslujte v ní uzly a elementy!
    2. Naznačte rozmístění prvků matice tuhosti elementu č. 2 ( $\mbox{\underline K}^{2}$) v globální matici tuhosti $\mbox{\underline K}$
    2 body
    Výsledek:
    \includegraphics[height = 90mm]{struct1.eps}

  16. Je dána tabulka souřadnic
    uzel 1 2 3 4 5 6 7 8
    $x$ [mm] -20 -20 -10 0 10 20 20 0
    $y$ [mm] 0 10 20 20 20 10 0 0


    tabulka elementů
    lok. uzel 1 2 3 4
    element        
    1 (3-uzlový rovinný) 1 2 8 -
    2 (3-uzlový rovinný) 2 3 8 -
    3 (3-uzlový rovinný) 3 4 8 -
    4 (3-uzlový rovinný) 4 5 8 -
    5 (3-uzlový rovinný) 5 6 8 -
    6 (3-uzlový rovinný) 6 7 8 -


    a tabulka incidence globálních stupňů volnosti
    uzel 1 2 3 4 5 6 7 8
    $u_{x}$ [mm] 1 3 5 7 9 11 13 15
    $u_{y}$ [mm] 2 4 6 8 10 12 14 16


    rovinné MKP sítě.
    1. Načrtněte uvedenou síť v globálním souřadném systému $(Oxy)$, očíslujte v ní uzly a elementy!
    2. Naznačte rozmístění prvků matice tuhosti elementu č. 2 ( $\mbox{\underline K}^{2}$) v globální matici tuhosti $\mbox{\underline K}$
    2 body
    Výsledek:
    \includegraphics[height = 90mm]{struct2.eps}

  17. Je dána tabulka souřadnic
    uzel 1 2 3 4 5
    $x$ [mm] -10 0 10 0 0
    $y$ [mm] 0 10 0 -10 0


    tabulka elementů
    lok. uzel 1 2 3 4
    element        
    1 (3-uzlový rovinný) 1 2 5 -
    2 (3-uzlový rovinný) 2 3 5 -
    3 (3-uzlový rovinný) 3 4 5 -
    4 (3-uzlový rovinný) 4 1 5 -


    a tabulka incidence globálních stupňů volnosti
    uzel 1 2 3 4 5      
    $u_{x}$ [mm] 1 3 5 7 9      
    $u_{y}$ [mm] 2 4 6 8 10      


    rovinné MKP sítě.
    1. Načrtněte uvedenou síť v globálním souřadném systému $(Oxy)$, očíslujte v ní uzly a elementy!
    2. Naznačte rozmístění prvků matice tuhosti elementu č. 2 ( $\mbox{\underline K}^{2}$) v globální matici tuhosti $\mbox{\underline K}$
    2 body
    Výsledek:
    \includegraphics[height = 90mm]{struct3.eps}


next up previous
Next: About this document ... Up: otazky_test Previous: Typové příklady.
Miroslav Spaniel 2009-01-06