next up previous
Next: Testové otázky. Up: otazky_test Previous: otazky_test

Typové příklady.

  1. Určete přibližně průhybovou čáru $v\arge{x}$ nosníku zatíženého spojitým zatížením $q\;\mathrm{[N\,mm^{-1}]}$. Rozměry a průřezové charakteristiky jsou zavedeny na obr. 0.1, materiál je elastický s Youngovým modulem pružnosti $E$. Užijte princip minima celkové potenciální energie a Ritzovu metodu s polynomickou bází do stupně polynomu 4.
    Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.
    \includegraphics[height = 30mm]{exam1.eps}

    Řešení: Předpokládejme $v\arge{x}$ jako lineární kombinaci Taylorovské báze

    \begin{displaymath}v\arge{x} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}\end{displaymath}

    Hledáme koeficienty $a_{i}$ tak, abychom vyhověli principu minima celkové potenciální energie. Podle tohoto principu se řešení vybírá z množiny kinematicky přípustných posuvů. Proto splnění kinematických okrajových podmínek musí být předem zajištěno i ve výše navržené lineární kombinaci pro libovolnou volbu koeficientů.

    Kinematické okrajové podmínky: $v\arge{0} = 0$, $v'\arge{0} = \left.\der v / \der x\right\vert _{x=0} = 0$. Je evidentní, že volba $a_{0} = a_{1} = 0$ zaručí splnění kinematických okrajových podmínek pro libovolnou volbu $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$. Nyní tedy máme kinematicky přípustná řešení ve tvaru

    \begin{displaymath}v\arge{x} = a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}\end{displaymath}

    s derivacemi

    \begin{displaymath}v'\arge{x} = 2 a_{2} x + 3 a_{3} x^{2} + 4 a_{4} x^{3}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}v''\arge{x} = 2 a_{2} + 6 a_{3} x + 12 a_{4} x^{2}\end{displaymath}

    Celková potenciální energie $\Pi$ tělesa sestává z deformační energie $U$ a potenciálu vnější síly $W$

    \begin{displaymath}\Pi = U + W , \mbox{kde}\end{displaymath}


    \begin{displaymath}U = \int_{0}^{l}\frac{M_{o}^{2}}{2 EJ} \der x = \frac{EJ}{2}\int_{0}^{l} \left(v''\arge{x}\right)^{2} \der x\end{displaymath}


    \begin{displaymath}W = -\int_{0}^{l} q\arge{x}v\arge{x} \der x\end{displaymath}

    Nyní, z

    \begin{displaymath}\left(v''\arge{x}\right)^{2} = \left(2 a_{2} + 6 a_{3} x + 12...
...8 a_{4} a_{2} x^{2} + 24 a_{3} a_{2} x + 144 a_{4} a_{3} x^{3} \end{displaymath}

    plyne

    \begin{displaymath}\Pi = \frac{72}{5}EJl^{5}a_{4}^{2} + 6EJl^{3}a_{3}^{2} + 2EJl...
...5}a_{4} - \frac{ql^{4}}{4}a_{3} - \frac{ql^{3}}{3}a_{2} \;\cdot\end{displaymath}

    Podmínkou minima $\Pi\arge{a_{2},a_{3},a_{4}}$ je

    \begin{eqnarray*}
\frac{\partial \Pi}{\partial a_{2}} = 24EJl^{3}a_{4} + 6EJl^{2...
...a_{4} + 18EJl^{4}a_{3} + 24EJl^{3}a_{2} - \frac{ql^{5}}{5} &=& 0
\end{eqnarray*}

    systém obyčejných lineárních rovnic, jehož řešení

    \begin{displaymath}a_{4} = \frac{q}{24EJ};\qquad a_{3} = \frac{-ql}{6EJ}; \qquad a_{2} = \frac{ql^{2}}{4EJ}\end{displaymath}

    vede na přibližné řešení naší úlohy ve tvaru

    \begin{displaymath}v\arge{x} = \frac{q}{24EJ}\left[x^{4} - 4lx^{3} + 6l^{2}x^{2}\right]\;\cdot\end{displaymath}

    Průhyb na volném konci

    \begin{displaymath}v\arge{l} = \frac{ql^{4}}{8EJ}\end{displaymath}

    je v plném souladu s klasickým analytickým řešením Mohrovým integrálam.

  2. Určete přibližně posuv (horizontální i vertikální) styčníku $V$ prutové soustavy. Rozměry jsou zavedeny na obr. 0.2, materiál je elastický s Youngovým modulem pružnosti $E$ a všechny pruty mají stejný průřez $A$. Užijte princip minima celkové poteciální energie a předpoklad malých posuvů.
    Obr. 0.2: Jednoduchá prutová soustava.
    \includegraphics[height = 40mm]{exam2a.eps}

    Řešení: Celkovou potenciální energii prutové soustavy vyjádříme jako součet deformační energie $U$ a potenciálu vnějších sil $W$, tedy $\Pi = U + W$. Deformační energii lze vyjádřit jako součet deformačních energií jednotlivých prutů

    \begin{displaymath}U = \sum_{i=1}^3{U_i} = \sum_{i=1}^3\left[\frac{1}{2}E\varepsilon_i^2Al_i\right]\;,\end{displaymath}

    kde $l_i$ je délka a $\varepsilon_i$ poměrné prodloužení $i-\mbox{tého}$ prutu. Potenciál vnějších sil je formálně záporně vzatou hodnotou skalárního součinu síly a posuvu jejího působiště. V našem případě tedy jde o styčník $V$ a protože síla je horizontální platí, že

    \begin{displaymath}W = - u_{V}F\;,\end{displaymath}

    kde posuv $\vec{u}_{V}$ styčníku $V$ je ve složkách $\vec{u}_{V} = \left[u_{V},\,v_{V}\right]$.
    Obr. 0.3: Prodloužení prutu jako funkce posuvů jeho styčníků za předpokladu malých posuvů.
    \includegraphics[height = 50mm]{exam2b.eps}
    Poměrné prodloužení prutu evidentně závisí na posuvu jeho koncových bodů (styčníků). Dle obrázku 0.3 znázorníme nedeformovaný prut s počátečním styčníkem $A$ a koncovým styčníkem $B$ vektorem $\vec{l}_{0}$ a prut po deformaci vektorem $\vec{l}$. Za předpokladu malých posuvů se délka prutu po deformaci $\tilde l$ aproximuje jako velikost průmětu deformovaného prutu do původního směru

    \begin{displaymath}\tilde l = \frac{\vec{l_{0}}}{\left\vert\vec{l}_{0}\right\vert}\cdot\vec{l}\;\cdot\end{displaymath}

    Označíme-li $\vec{u}_{A}$, resp. $\vec{u}_{B}$ posuvy styčníků $A$, resp. $B$, pak podle vektorového obrazce na obr. 0.3 platí

    \begin{displaymath}\vec{l} = \vec{u}_{B} + \vec{l}_{0} - \vec{u}_{A}\;\cdot\end{displaymath}

    Prodloužení prutu (za předpokladu malých posuvů) vyjádříme jako rozdíl délek $\tilde l$ po deformaci a $\left\vert\vec{l}_{0}\right\vert$ před deformací, takže prodloužení prutu

    \begin{displaymath}\Delta l = \tilde l - \left\vert\vec{l}_{0}\right\vert =
\fr...
..._{A}\right)\cdot \vec{l}_{0}}{\left\vert\vec{l}_{0}\right\vert}\end{displaymath}

    je dáno průmětem rozdílu posuvů jeho styčníků do směru prutu před deformací. Evidentně i poměrné prodloužení prutu

    \begin{displaymath}\varepsilon = \frac{\Delta l}{\left\vert\vec{l}_{0}\right\ver...
...\right)\cdot \vec{l}_{0}}{\left\vert\vec{l}_{0}\right\vert^{2}}\end{displaymath}

    je lineární funkcí posuvů styčníků $A$ a $B$. Celková potenciální energie naší soustavy

    \begin{displaymath}\Pi\left( u_{A}, v_{A}, u_{B}, v_{B}, u_{C}, v_{C}, u_{V}, v_...
...um_{i=1}^3\left[\frac{1}{2}E\varepsilon_i^2Al_i\right] - u_{V}F\end{displaymath}

    je (kvadratickou) funkcí posuvů styčníků $A$, $B$, $C$ a $V$. Podle principu minima celkové potenciální energie je řešením takový posuv , který minimalizuje celkovou potenciální energii $\Pi$ na množině všech kinematicky přípustných posuvů, tedy v našem případě při splnění okrajových podmínek

    \begin{displaymath}u_{A} = v_{A} = u_{B} = v_{B} = u_{C} = v_{C} = 0\;\cdot\end{displaymath}

    Za těchto podmínek platí

    \begin{displaymath}\Pi\left(u_{V}, v_{V}\right) = \sum_{i=1}^3\left[\frac{1}{2}E\varepsilon_i^2Al_i\right] - u_{V}F\,,\end{displaymath}

    kde

    \begin{displaymath}
\displaystyle
\begin{array}{lll}
\varepsilon_{1} = \frac{\di...
...V}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2 a} \\
\end{array}\end{displaymath}

    Nutnou podmínkou minima celkové potenciální energie $\Pi$ je

    \begin{eqnarray*}
\frac{\displaystyle \partial\Pi}{\displaystyle u_{V}} &=& \sum...
...varepsilon_{i}}{\displaystyle \partial v_{V}} Al_i\right] = 0\\
\end{eqnarray*}

    což po dosazení vede na soustavu

    \begin{eqnarray*}
EA\left[\frac{\displaystyle u_{V} + v_{V}}{\displaystyle 2 a} ...
...isplaystyle 1}{\displaystyle 2 a}\right) \sqrt{2} a\right] &=& 0
\end{eqnarray*}

    s řešením

    \begin{eqnarray*}
u_{V} &=& \frac{\displaystyle \sqrt{2} F a}{\displaystyle EA}\;\cdot\\
v_{V} &=& 0
\end{eqnarray*}

    Toto řešení je opět v souladu s klasickým řešením silovou metodou s deformační podmínkou nebo pomocí 2. Castiglianovy věty.


next up previous
Next: Testové otázky. Up: otazky_test Previous: otazky_test
Miroslav Spaniel 2009-01-06