Úloha s aplikací vazby prostorových a skořepinových prvků



1 Úvod

Při vytváření MKP modelů je v některých případech potřeba spojit části vymodelované z prostorových a skořepinových prvků. K tomu můžeme být přinuceni např. nemožností vymodelovat celé těleso jedním druhem prvků z hlediska velikosti úlohy (počet uzlů atd.).

1.1 Zadání

Je dána čtvercová deska s rozměrem 480 mm a tlouštce 10 mm. Uprostřed desky je defekt - válcový důlek - o poloměru 30 mm. Na přechodu mezi stěnou důlku a dnem důlku je rádius 3 mm. Tloušťka stěny desky v důlku je 3 mm. Deska je po obvodu vetknutá a na spodní straně zatížená konstantním jednotkovým tlakem.
zadani ulohy
Obr. 1.1.1

1.2 Příprava k vytvoření modelu

Vzhledem k přítomnosti důlku v desce je potřeba desku modelovat prostorovými prvky. Na druhou stranu vzhledem k celkové velikosti desky by byla úloha z hlediska počtu uzlů příliš velká. Proto část desky s důlkem vymodelujeme prostorovými prvky a zbytek skořepinovými prvky - viz obr. 1.2.1.

Nechť deska leží v rovině xy a osa důlku je totožná s osou z. Důlek necháme vytvořit orotováním meridiánu důlku se svým okolím kolem osy z. Pokud bychom nechali celý meridián orotovat, vznikly by kolem středu důlku příliš "špičaté prvky". Z toho důvodu rozdělíme důlek a jeho okolí na dvě části - rovné dno důlku a stěny s radiusem + bezprostřední okolí. (Proč nemodelujeme jenom skutečný meridián důlku, ale přidáváme ješte jeho okolí - důvodem je opět obava ze "špičatosti" elementů) - viz obr. 1.2.2. Ztenčenou stěnu desky v důlku vymodelujeme vytažením průmětu dna důlku ve směru osy z. Meridián okrajové části důlku již můžeme nechat orotovat. Poté vymodelujeme průmět prostorové časti desky do roviny xy, necháme od něj odečíst průmět důlku a tuto desku pak vytáhneme opět ve směru osy z do prostoru. Poté již vymodelujeme zbylou desku (skořepinovou) - také zde se uplatní operace odčítání (chceme pouze skořepinovou desku okolo prostorové desky).

1.3 Vazbové rovnice

Problémem je zde spojení prostorové a skořepinové části modelu. Pro uzly na styku prostorový element - skořepinový element musí platit dvě základní podmínky: rovnost posuvů a kompatibilita natočení. Rovnice vyplývající z podmínky rovnosti posuvů uzlů jsou zřejmé:
0=UX1-UX2;
0=UY1-UY2;
0=UZ1-UZ2.
UX1, UY1, UZ1 jsou posuvy ve směru osy x, y, z stykových uzlů náležejících prostorovému prvku. UX2, UY2, UZ2 jsou posuvy ve směru osy x, y, z stykových uzlů náležejících skořepinovému prvku.

Kompatibilitu natočení je možno zajistit linearizací - viz obr. 1.3.1.

kompatibilita natoceni
Obr. 1.3.1

Musí plati rovnice:
rotace kolem osy y
0=UX1-UX2-h*ROTY3;
rotace kolem osy x
0=UY1-UY2+h*ROTX3.
UX1, UY1 jsou posuvy ve směru osy x, y uzlů na horní hraně náležející prostorovým prvkům. UX2, UY2 jsou posuvy ve směru osy x, y uzlů na dolní hraně náležející prostorovým prvkům. ROTX3, ROTY3 jsou rotace kolem osy x, y stykových uzlů náležejících skořepinovému prvku. h je tloušťka desky, zde h=10 mm. Natočení kolem osy z se neuvažuje.

2 Postup

2.1 Zadání materiálu, MKP prvků, reálných konstant

Před začátkem vlastního modelování si připravíme následující:

Materiálové konstanty:

MKP prvky (elements), které budou použity:

Reálné konstanty:

2.2 Modelování defektu

2.2.1 Body, čáry

Nejdříve je třeba v rovině xz vytvořit meridián důlku - viz
obr. 2.2.1 Souřadnice bodů (keyponts) meridiánu jsou
1 [25,0,0];
2 [25,0,3];
3 [30,0,3];
4 [30,0,10];
5 [35,0,10];
6 [35,0,0].

Mezi nasledujícími dvojicemi bodů vytvoříme čáry (lines) 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1. Rádius spojující dno důlku se stěnou vytvoříme jako přechod (filet) mezi čárami spojujícími body 2-3 a 3-4. Radius přechodu dle zadání je 3 mm. Vzniknou dva nové body - koncové body přechodu- a čára přechodu (oblouk). Zároveň se použitím funkce přechodu patřičně upraví původní čáry 2-3 a 3-4. Tím máme připraveny čáry meridiánu důlku.

Dále si připravíme kružnici v rovině xy, podél které necháme meridián důlku orotovat a tím vytvoříme prostorový model důlku. Vytvoříme následující body
7 [0,-25,0];
8 [-25,0,0];
9 [0,25,0];
10 [0,0,0].

Mezi následujícími body vytvoříme oblouky (poloměr 25 mm) 1-7, 7-8, 8-9, 9-1. Jako řídicí bod oblouků zadáváme vždy bod 10 (zde střed křivosti). Jelikož bude kruh definovaný právě vytvořenou kružnicí rozdělen pro potřeby síťování na čtyři plochy, je nutné dále vytvoři dělící čáry mezi těmito body 10-1, 10-7, 10-8, 10-9.

2.2.2 Plochy

Vytvoříme následující plochy - viz obr. 2.2.2

2.2.3 Síťování

Pro potřeby síťování zadáme následující dělení čar (Main Menu > Preprocessor > Meshing - Size Cntrls > ManualSize - Lines - Picked Lines) - viz obr. 2.2.3

Plocha meridiánu
Čára mezi body Dělení
1-2 2
2-přechod 2
přechod 2
přechod-4 2
4-5 2
5-6 2

Dělení čáry 6-1 necháme na systému.

Čtvrtplochy kruhu
Čára mezi body Dělení
1-7 8
7-8 8
8-9 8
9-1 8
10-1 4
10-7 4
10-8 4
10-9 4

Pro vytvoření MKP sítí (Main Menu > Preprocessor > MeshTool) použijeme následující parametry:

Po vysíťování daných základních ploch (viz obr. 2.2.4) již můžeme tvořit prostorový model defektu. Nejdříve necháme vytáhnout dno důlku (označené čtyři čtvrtkruhové plochy) podél čáry 1-2 (Main Menu > Preprocessor > Modeling - Operate > Extrude / Sweep > Areas - Along Lines). Dále necháme plochu meridiánu orotovat podél kružnice definované body 1-7-8-9-1 (Main Menu > Preprocessor > Modeling - Operate > Extrude / Sweep > Areas - Along Lines). Výsledek těchto operací je zde - obr. 2.2.5

2.3 Modelování prostorové desky

2.3.1 Body, čáry

Po vytvoření modelu důlku vytvoříme prostorovou desku. V rovině xy zadáme rohové body (keyponts) desky [-120,-120,0]; [120,-120,0]; [120,120,0]; [-120,120,0].
Mezi těmito body vytvoříme čáry (lines) - výsledek těchto operací je zde -
obr. 2.3.1.

2.3.2 Plochy

Pomocí právě vymodelovaných čar definujeme plochu prumětu desky do roviny xy. Než tento průmět vytáhneme do prostoru, musíme od této plochy odečíst průmět defektu. Jelikož plochy na dně defektu jsou již vysíťovány a nelze je proto použít pro tuto operaci, musíme vytvořit pomocnou kruhovou plochu o poloměru 35 mm se středem [0,0,0]. Pro zlepšení konfortu zadávání dotyčných ploch je vhodné okamžitě po jejich vzniku vytvořit příslušnou komponentu (component) zmíněných ploch. Pak již můžeme tuto operaci provést. Lze ji snadno zadat z příkazové řádky
"ASBA,AP_2,AP_1,,DELETE,DELETE", kde AP_2 je komponenta (plocha), od které se odečítá, AP_1 je komponenta (plocha), která je odečítána, dvakrát napsané DELETE znamená, že obě původní plochy budou po provedení příkazu smazány. Po vykonání příkazu ASBA vznikne nová plocha s otvorem o poloměru 35 mm - viz obr. 2.3.2.

2.3.3 Síťování

Nejdříve sloučíme všechny překrývající se prvky (Main Menu > Preprocessor > Numbering Ctrls > Merge Items), nastavíme ALL, tolerance TOLER= 1e-5. Pro potřeby síťování zadáme dělení vnějších čar desky na 8 dílů (Main Menu > Preprocessor > Meshing - Size Cntrls > ManualSize - Lines - Picked Lines) - viz obr. 2.3.3.
Pro vytvoření MKP sítí (Main Menu > Preprocessor > MeshTool) použijeme následující parametry:

Po vysíťování desky (viz obr. 2.3.4) ji necháme vytáhnou podél čáry spojující body 1-2 (Main Menu > Preprocessor > Modeling - Operate > Extrude / Sweep > Areas - Along Lines) - viz obr. 2.3.5.

Nyní již můžeme smazat všechny skořepinové elementy - prostorový model má být tvořen jen prostorovými prvky Solid 45 - (Main Menu > Preprocessor > Meshing - Clear > Areas). Opět provedeme sloučení všech překrývajících se prvků (Main Menu >Preprocessor > Numbering Ctrls > Merge Items), nastavíme ALL, tolerance TOLER= 1e-5. Tím je prostorový model hotov. Na řadu přijde model okolní skořepinové desky.

2.4 Modelování skořepinové desky

2.4.1 Body, čáry

V rovině xy zadáme rohové body (keyponts) desky [-240,-240,5]; [240,-240,5]; [240,240,5]; [-240,240,5]. Mezi těmito body vytvoříme čáry (lines). Dále vytvoříme body [-120,-120,5]; [120,-120,5]; [120,120,5]; [-120,120,5] a mezi těmito body další čáry. Výsledek je zde -
obr. 2.4.1.

2.4.2 Plochy

Pomocí právě vymodelovaných čar definujeme dvě plochy - velkou plochu (čtvercová plocha o hraně 480 mm) a malou plochu (čtvercová plocha o hraně 240 mm). Opět si je uložíme jako komponenty (components). Od velké plochy odečteme malou např. přímo pomocí příkazu "ASBA,AP_5,AP_4,,DELETE,DELETE", kde AP_5 je komponenta (plocha), od které se odečítá, AP_4 je komponenta (plocha), která je odečítána, dvakrát napsané DELETE znamená, že obě původní plochy budou po provedení příkazu smazány. Po vykonání příkazu ASBA vznikne nová plocha s otvorem o hraně 240 mm - viz obr. 2.4.2.

2.4.3 Síťování

Pro potřeby síťování zadáme dělení vnějších čar desky na 12 dílů, vnitřních čar na 8 dílů (shodně jako u prostorové desky) ( Main Menu > Preprocessor > Meshing - Size Cntrls > ManualSize - Lines - Picked Lines) - viz obr. 2.4.3.
Pro vytvoření MKP sítí ( Main Menu > Preprocessor > MeshTool) použijeme následující parametry:
Výsledek síťování je zde - obr. 2.4.4.

Tím je z geometrického hlediska model hotov.

2.5 Zadání okrajových podmínek

2.5.1 Zatížení

Na spodní stranu desky (složené z prostorových i skořepinových elementů) aplikujeme tlak. U části složené z prostorových elementů aplikujeme tlak na uzly (nodes) - ( Main Menu > Preprocessor > Loads > Loads - Apply > Structural - Pressure > On Nodes). Ty vybereme např. podle geometrické polohy vůči ose z. Podobně aplikujeme tlak i na skořepinovou část. Zde je nutno tlak zadat na elementy ( Main Menu > Preprocessor > Loads > Loads - Apply > Structural - Pressure > On Elements) a mít na zřeteli správný povrch skořepinového elementu (Load Face). Těleso po aplikaci tlaku je zde -
obr. 2.5.1 (pohled na spodní stranu desky).

2.5.2 Posuvy

Deska je dle zadání po okraji vetknuta. Vybereme tedy na skořepinové části okrajové uzly (nodes) a odebereme všechny stupně volnosti ( Main Menu > Preprocessor > Loads > Loads - Apply > Structural - Displacement > On Nodes) - viz obr. 2.5.2.

2.6 Vazbové rovnice

Teorie vazbových rovnic (Constraint equation) je popsána v kapitole 1.3. Před vlastní aplikací těchto rovnic je nutné zjistit čísla uzlů (nodes) na vnějších plochách v rovině xz a yz patřících prostorové desce a čísla uzlů na čárách styku prostorové a skořepinové desky. To je možné např. vybráním příslušných prvků a jejich vykreslením příslušných uzlů se zapnutým číslováním.

2.6.1 Posuvy

Musí platit rovnost posuvů stykových uzlů náležejících prostorovým a skořepinovým prvkům.
Musí plati rovnice
0=UX1-UX2;
0=UY1-UY2;
0=UZ1-UZ2.
UX1, UY1, UZ1 jsou posuvy ve směru osy x, y, z stykových uzlů náležejících prostorovému prvku. UX2, UY2, UZ2 jsou posuvy ve směru osy x, y, z stykových uzlů náležejících skořepinovému prvku.

Rovnice se zadávají v okně (Maim Menu > Preprocessor > Coupling/Ceaqn > Constraint Eqn... ) nebo pomocí příkazu
"CE,NEQN,CONST,NODE1,LAB1,C1,NODE2,LAB2,C2";
kde NEQN je číslo rovnice, CONST je konstanta na levé straně rovnice (zde 0), NODE1 je číslo uzlu (zde číslo uzlu nálěžejícího prostorovému prvku), LAB1 je příslušná veličina (UX nebo UY nebo UZ), C1 je koeficient (zde 1), NODE2 je číslo uzlu (zde číslo uzlu náležejícího skořepinovému prvku), LAB2 je příslušná veličina (UX nebo UY nebo UZ), C2 je koeficient (zde -1). Příklad zadání v okně je na obr 2.6.1.

2.6.2 Rotace

Musí platit kompatibilita rotací stykových uzlů náležejících prostorovým a skořepinovým prvkům.
Musí plati rovnice
rotace kolem osy y
0=UX1-UX2-h*ROTY3;
rotace kolem osy x
0=UY1-UY2+h*ROTX3.
UX1, UY1 jsou posuvy ve směru osy x, y uzlů na horní hraně náležející prostorovým prvkům. UX2, UY2 jsou posuvy ve směru osy x, y uzlů na dolní hraně náležející prostorovým prvkům. ROTX3, ROTY3 jsou rotace kolem osy x, y stykových uzlů náležejících skořepinovému prvku. h je tloušťka prostorové desky, zde h=10 mm.

Rovnice se zadávají v okně (Maim Menu > Preprocessor > Coupling/Ceaqn > Constraint Eqn... ) nebo pomocí příkazu "CE,NEQN,CONST,NODE1,LAB1,C1,NODE2,LAB2,C2,NODE3,LAB3,C3"; kde NEQN je číslo rovnice, CONST je konstanta na levé straně rovnice (zde 0), NODE1 je číslo uzlu (zde číslo uzlu nálěžejícího prostorovému prvku na horní hraně desky), LAB1 je příslušná veličina (UX nebo UY), C1 je koeficient (zde 1), NODE2 je číslo uzlu (zde číslo uzlu nálěžejícího prostorovému prvku na dolní hraně desky), LAB2 je příslušná veličina (UX nebo UY), C2 je koeficient (zde -1), NODE3 je číslo uzlu (zde číslo uzlu náležejícího skořepinovému prvku), LAB3 je příslušná veličina (ROTY nebo ROTX ), C3 je koeficient (zde -10 nebo 10). Příklad zadání v okně je na obr 2.6.2.

Pohled na desku po zadání vazbových rovnic je na obr. 2.6.3. Vazbové rovnice jsou zde graficky znázorněny.

2.7 Řešení

Nyní již můžeme spustit řešení (Main Menu > Solution > Solve - Current LS).

2.8 Zpracování výsledků

Po zdárném proběhnutí řešení se můžeme podívat na grafické zpracování výsledků.

2.8.1 Deformace, posuvy

Necháme si vykreslit deformovaný tvar desky (Main Menu > General Postprocessor > Plot Results > Deformed Shape ) - viz
obr. 2.8.1 - pohled BOT. Je vidět, že deformovaná střednice prostorové části tělesa hladce navazuje na střednici skořepinové části, což je zaručeno námi vynucenou kompatibilitou natočení. Na dalších obrázcích je možno sledovat uzlové posuvy (Main Menu > General Postprocessor > Plot Results > Contour Plot - Nodal Solution) ve směru osy z (UZ) - viz obr. 2.8.2 a rotace kolem osy x (ROTX) - viz obr. 2.8.3.

2.8.2 Napětí

Vykreslíme redukované napětí dle teorie HMH (SEQV) (Main Menu > General Postprocessor > Plot Results > Contour Plot - Nodal Solution ) - viz obr. 2.8.4.


Vaše připomínky a návrhy nám prosím zasílejte na níže uvedenou e-mail adresu
Autor: Ctirad Novotný
Editor: Miroslav Španiel
Správce WWW: Pavel Štěrba.
Kontakt: spaniel@lin.fsid.cvut.cz
Poslední změna 10.1.2001