GEOMETRICKÉ MODELY A MKP SÍTĚ V ANSYSU

Konečně-prvkový model sestává ze dvou dypů entit - z elementů a uzlů, viz zde . Elementy ve svém souhrnu představují oblast v prostoru, která reprezentuje modelované těleso. Základní způsob popisu a zadání MKP modelu vychází z toho, že geometrie elementu je plně určena polohou uzlových bodů. Stačí tedy zadat souřadnice uzlů a pro každý element vypsat uspořádaný seznam jeho uzlů, jako je tomu v obrázku.

Takto se v minulosti skutečně často postupovalo a MKP modely vznikaly jako výkresy na rýsovacích prknech, odkud byly odměřené souřadnice a uzly zapisovány (přímo děrovány) do databáze modelu. Bylo zřejmé, že nutnou podmínkou pro efektivní použití MKP je automatizace tvorby sítě konečných elementů. V průběhu vývoje měly pokusy o automatizaci různé formy. Dnes je nejrozšířenějším přístupem generování MKP sítí do geometrických modelů. Podstatou tohoto přístupu je využití geometrického modelu (jehož tvorba je podstatně méně pracná nežli ruční tvorba sítě) jako šablony, s jejíž pomocí vygeneruje automatický generátor sítě množiny uzlů a elementů, které tvoří MKP model tělesa. MKP systémy jsou dnes vybaveny prostředky pro tvorbu nebo (import a editaci) geometrických modelů, automatické generování sítí a využití asociativity geometrických a MKP entit pro zadání okrajových podmínek a zatížení. Tyto prostředky se souhrnně nazývají preprocesory

Geometrické entity preprocesoru ANSYSu

Geometrickými entitami v ANSYSu rozumíme body, čáry, plochy a objemy. Každá vyšší entita kromě bodu je ohraničena entitami nižšími. Tato hranice je z hlediska uživatele jediným rozhraním geometrické entity. Entita může mít vnitřní parametry (např. zakřivení), ale tyto parametry jsou nastaveny při jejím vzniku a nemohou býti měněny jinak, nežli smazáním a znovu-vytvořením entity. Příklady geometrických entit jsou v tabulce:
Entita Rozhraní Příklady vytvoření
KEYPOINT
(bod)
--
  • Zadáním souřadnic
  • Jako průsečík čáry s čárou nebo rovinou
LINE
(čára)
2 keypointy
počáteční a koncový
  • Spojnice dvou keypointů\
  • Spline procházející několika keypointy
    (po vytvoření tvoří rozhraní pouze 2
  • Průsečík ploch
  • Kinematicky, jako trajektorie výtvarného keypointu
AREA
(plocha)
  • Neomezený počet křivek v rovině
  • 3 nebo 4 křivky v prostoru
    složitější plochy v prostoru musí být složeny z více "plátů"
  • Výčtem hraničních čar
  • "Přetažením" přes skupinu křivek (skinning)
  • "Přetažením" přes existující plochu
  • Kinematicky, jako trajektorie výtvárné čáry
VOLUME
(objem)
Neomezený počet ploch, které musí uzavírat oblast v prostoru
  • Výčtem hraničních ploch
  • Kinematicky, jako trajektorie výtvárné plochy

Topologická spojitost

Topologická spojitost geometrického modelu má v ANSYSu velký význam při automatickém generováné sítí. Je-li geometrický model, který sestává z více geometrických entit topologicky spojitý, pak je zaručena topologická spojitost (kompatibilita) automaticky generovaných sítí. Topologickou spojitostí entit se rozumí, že mají společnou hraniční entitu. Např. dvě křivky jsou topologicky spojité, mají-li společný hraniční keypoint. Problémy mohou nastat zejména tam, kde hraniční entity geometricky koincidují (mají stejnou polohu), ale nejsou totožné. Takové případy bývá obtížné vizuálně odhalit. Na obrázku je vidět topologicky spojité křivky (a) se společným keypointem K2 a topologicky nespojité křivky (b) s koincidujícími keypointy K2 a K3. Obr. (c) ukazuje rozdíl mezi (topologicky) uzavřenou a otevřenou křivkou a vliv na možnost definovat plochu.

Tvorba MKP sítí v preprocesoru ANSYSu

MKP entitami rozumíme uzly a elementy.

Kompatibilní a nekompatibilní sítě. Rodiny elementů

Zjednodušeně řečeno, element má prototyp (vzor), který definuje hrany a stěny jako křivky spojující uzly. Tím je dána topologie. Ztotožnění elementových uzlů s uzly globálními vnáší informaci o tvaru konkrétní realizace (instance) elementu v prostoru. Na obrázku je naznačeno zobrazení prototypu (vzoru) čtyřuzlového rovinného elementu na vybraný element MKP sítě - instanci elementu. Zobrazení je definováno přiřazením globálních uzlů k uzlům lokálním (zelené šipky). Hrany s1 - s4 jsou v instanci definovány jako úsečky spojující příslušné globální uzly. Tím, že sousední elementy sdílejí globální uzly na společných hranách je zajištěna tzv. topologická spojitost (kompatibilita) MKP sítě.

Na následujícím obrázku je naznačen tvar MKP sítě podeformaci, která je popsána vektory posuvu globálních uzlů u1 - u8. Interpolace posuvů uvnitř elementů zajišťuje, že deformovaná hrana je úsečkou spojující posunuté uzly. Je evidentní, že za této podmínky platí, že pole posuvů interpolované celou MKP sítí je spojité. Vlastnost MKP sítě, že pro libovolné posuvy uzlových bodů je interpolované pole posuvů spojité se nazývá kompatibilita v posuvech, zkráceně kompatibilita MKP sítě. Kompatibilita je nutnou podmínkou konvergence MKP sítě (ve smyslu, že se zjemňováním sítě se výsledná interpolace posuvů blíží exaktnímu řešení) a obvykle bývá vyžadována.

Spojitost pole posuvu uvnitř elementu je zajištěna spojitostí interpolační funkce. Aby byla zajištěna spojitost na hranicích mezi elementy musí být
  1. společné globální uzly na společné hraně
  2. zajištěno, že posuv na libovolné hraně elementu závisí pouze na posuvech uzlů, které na této hraně leží.
  3. oba elementy interpolují posuv podél hrany stejně
Pokud by všechny elementy v MKP síti měly stejný vzor, byla by podmínka 3 splněna automaticky. Na obrázku je však kromě čtyřúhelníkových elementů také element trojúhelníkový. Použití různých topologií v jedné síti značně zvyšuje možnosti modelování těles velmi obecných tvarů. Proto jsou často v MKP programech vytvářeny tzv. rodiny elementů. Rodina elementů představuje několik vzorů (topologií), jejichž instance jsou při zajištění podmínek 1 a 2 kompatibilní. Např. v ANSYSu je rodina PLANE 42, která obsahuje rovinný čtyřúhelník a trojúhelník. Trojúhelníkový element vzniká jako degenerovaný čtyřúhelník, viz obrázek

Rodina PLANE 82 je typická tím, že její elementy mají zakřivené hrany. Zakřivení je definováno tzv. středostrannými uzly - midsides [midsaidy]. Každá hrana takového elementu má tři uzly, a její tvar je obecně parabolický (pokud všechny tři uzly leží v jedné přímce degeneruje parabola v úsečku).

Na následujícím obrázku jsou, jako příklad, naznačeny dvě nekompatibilní sítě.
  1. Nekompatibilita v důsledku nesplnění podmínky 2. Posuv na společné hraně trojúhelníkového elementu závisí na posuvu protějšího uzlu (který na této hraně neleží). Takový případ lze ošetřit na úrovni formulace MKP elementů a v ANSYSu nemůže nastat.
  2. Nekompatibilita v důsledku použití elementů ze dvou rodin - PLANE 42 a PLANE 82. Topologicky spojitá síť se po deformaci stává nespojitou. Takový případ je obtížné ošetřit a v ANSYSu nastat může.


Analogickou topologii mají skořepinové elementy (rodiny SHELL 63 a SHELL 93), které ovšem diskrtetizují obecně zakřivené plochy.
Složitější situace je ve 3D prostoru. Dvě typické 3D rodiny v ANSYSU představuje následující obrázek.

Atributy elementů

Z předchozího odstavce vyplynulo, že geometrie MKP sítě je dána polohou uzlů, geometrickými typy elementů a přiřazením globálních uzlů k lokálním - tzv. tabulkou incidencí uzlů. Úlohy řešené MKP nejsou čistě geometrické, ale také fyzikální. Podle typu úlohy se elementy třídí na Elementy lze třídit podle charakteru těles na Nesou-li uzly pouze informaci o své poloze a posuvu, musí typ úlohy a odpovídající fyzikální parametry vstupovat do výpočtu prostřednictvím elementů. Tyto informace mohou mít v závislosti na použitém MKP řešiči různou strukturu. V ansysu se používají tzv. atributy elementu: Každý element (ve smyslu každá instance) má přiřazeny 4 atributy:
  1. elementový typ - v terminologii ansysu element type
  2. materiál - v terminologii ansysu material
  3. obecné parametry (tzv. reálné konstanty) - v terminologii ansysu real constants
  4. elementový souřadný systém - v terminologii ansysu element coordinate system (CS)
Všechny 4 atributy jsou přirozená čísla, která představují ukazatel do tabulek příslušných atributů:

Tabulka elementových typů

Záznam v tabulce obsahuje vybraný typ elementu a případné volby. Typ elementu určuje typ úlohy a topologický typ elementu. Např. PLANE 42 je element pro řešení mechanické odezvy 2D kontinua - tzv. rovinné úlohy. Rovinná úloha ovšem může být dále specifikována jako tzv. ANSYS předpokládá v těchto případech jednotkovou tloušťku. Rovinnou úlohu s obecnou tloušťkou je možno řešit jen ve stavu rovinné napjatosti Rovinné elementy ve většině MKP programů lze využít i k řešení rotačně symetrických úloh Tato a další specifikace je v tabulce elementových typů definována prostřednictvím takzvaných voleb - v terminologii ansysu options. Struktura tabulky elementových typů je následující:

Identifikátor Typ elementu Volba 1 Volba 2 ... Volba N
1 PLANE 42 default plane stress w/thck default default

Tabulka reálných konstant

Reálné (ve smyslu reálná čísla) konstanty v ANSYSu představují parametry, které nelze zadat polohou uzlů ani prostřednictvím materiálu. V našem případě je to geometrický parametr - tloušťka elementu. Filozofie reálných konstant vychází z pojmu sady reálných konstant jako uspořádané N-tice reálných čísel. Každý element definovaný typem a volbami "ví" jaké parametry potřebuje pro výpočet a má definováno jejich pořadí. Je-li hodnota atributu reálné konstanty rovna i, hledá si element příslušné parametry v i-té sadě reálných konstant. Např. element "PLANE 42" s volbou "plane stress w/thck" ví, že vyžaduje jediný parametr - tloušťku - a tu hledá na první pozici asociované sady reálných konstant. Struktura tabulky reálných konstant je evidentně

Identifikátor Parametr 1 Parametr 2 ... Parametr N
1 5 default default default

Tabulka materiálu

Obsahuje informaci o typu materiálového modelu a hodnoty příslušných parametrů. Např. pro izotropní elastický materiál aplikovaný ve statické úloze bez uvažování teplotního pole má pouze dva parametry:
  1. Youngův modul pružnosti (Young's modulus)
  2. Poissonův poměr (Poisson's ratio)

Elementový souřadný systém

Ansys má tři předdefinované souřadné systémy (globální kartézký (0), globální cylindrický(1) a globální sférický (2)). Kromě toho může uživatel definovat vlastní systémy libovolně posunuté a natočené vůči globálním - kartézký, cylindrický, sférický a toroidní. Tyto systémy jsou identifikovány přirozenými čísly. Atribut elementový souřadný systém asociuje některý z definovaných systémů s příslušným elementem.

Automatické generování MKP sítí

Jak bylo řečeno výše, je dnes nejefektivnějším způsobem vytváření 2D resp. 3D MKP modelů automatické generování sítě do ploch resp. objemů. Algoritmy generátorů jsou velmi složité a jejich vývoj není ukončen. Z hlediska topologie elementů vytvářené sítě lze provést následující dělení:

Dimenze Topologie Automaticky Kinematicky Topol. omezení Pozn.
2D FREE - - -
MAP + * -
+ FREE - - -
3D FREE - - -
MAP + ** -
- + - -
+ - - - nekompatib.
+ - + - -
+ - - - ručně
+ + - - - ručně

Z tabulky vyplývá, že automatický generátor pracuje ve dvou režimech - MAP (generuje tzv. mapovanou síť) a FREE (generuje tzv. volnou síť). Volnou síť lze generovat do ploch (objemů) obecné topologie. Mapovanou síť lze generovat pouze do speciálních ploch či objemů - tzv. topologických obdélníků a topologických kvádrů.


Vaše připomínky a návrhy nám prosím zasílejte na níže uvedenou e-mail adresu
Autor: Miroslav Španiel
Editor: Miroslav Španiel
Správce WWW: Pavel Štěrba.
Kontakt:
spaniel@lin.fsid.cvut.cz
Poslední změna 10.1.2001